27 Mai

Dosentelefon – von hohen Türmen

In der Liste von Podcasts die ich höre findet sich auch “Trick 17” von Benjamin Behnke und Kai Daniel Du. Kürzlich fragten sich die beiden in der Anmoderation, ob es möglich wäre den Podcast per Dosentelefon aufzuzeichnen und überlegten, ob man ein Seil zwischen Dortmund und Lüneburg spannen könnte. Die Grundsätzliche Überlegung ging in die Richtung “Kann ein Seil genug gespannt werden um nicht durchzuhängen, bevor das Seil reißt und wie dick müsste es sein?”. An dieser Stelle kommt der erste Spielverderber ins Spiel, noch bevor es überhaupt zur eigentlichen Frage kommt: Die Erdkrümmung.


Von Anfang an: Damit ein Dosentelefon funktioniert muss das verbindende Seil zwischen zwei Klangkörpern so straff gespannt sein, dass sich dadurch Schwingungen in Längsrichtung (longitudinale Wellen) ausbreiten können. Damit die Schnur oder das Seil ungehindert schwingen kann, sollte es frei schwingen können. Das heißt zum Beispiel nicht auf dem Boden schleifen. Im Konkreten Beispiel beträgt die Luftlinie zwischen den Städten ca. 278 km. Wenn wir jetzt zwischen den Städten ein Seil spannen wollen, würde es zunächst in der Mitte auf den Boden treffen, also nach 139 km. Wenn das Durchhängen des Seils vorerst ignoriert wird, dann müssen die Punkte, an denen das Seil aufgehängt wird, mindestens so hoch gelegen sein, dass man von ihnen 139 km weit schauen kann. Das bedeutet, der Horizont muss dort 139 km weit weg sein. Wie weit weg der Horizont ist, lässt sich durch den Satz des Pythagoras berechnen und wurde von Knorkator in “Wie weit ist es bis zum Horizont?”¹ musikalisch verarbeitet. Im konkreten Fall gehe ich von Näherungswerten aus und beginne mit dem Satz des Pythagoras:

a^2+b^2=c^2 (oder in merkbar: “Im rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse, der Summe aus den Quadraten der Katheten)

Wie weit ist es bis zum Horizont?

Ein vereinfachtes Schaubild, für Vergrößerung klicken

Wobei a=r (Erdradius, 6371 km), b=l (halbe Strecke Dortmund-Lüneburg, 139km), c=r+h und h als Höhe der Ankerpunkte definiert ist. Eingesetzt in die Formel ergibt sich
r^2+l^2=(r+h)^2
und daraus
h=sqrt{r^2+l^2}-r

Es ergeben sich danach mindestens 1516 Meter hohe Türme. Wenn also Kai auf dem einen Turm sitzt, könnte Ben ihn von der Spitze des anderen Turms gerade noch sehen (falls er ein gutes Teleskop hat). Um also ein Dosentelefon über eine Strecke von 278 km zu realisieren, benötigen wir ZWEI Bauwerke, die mehr als VIER mal so hoch wie der Berliner Fernsehturm sind. Dazu kommt dann im nächsten Schritt noch der Durchhang des Seil, also brauchen wie noch höhere Bauwerke.

An dieser Stelle hat sich das mit dem weiteren berechnen von Seilkräften auch schon erledigt, denn Gebäude solcher Höhe tendieren dazu in der Realität nicht zu existieren. Baumaterialien und Untergrund können dem Gewicht und in diesem Fall auch der Zugkraft des Seils einfach nicht standhalten.² Vielleicht könnten Flattr-finanzierte Luftschiffe hier helfen und als Luftankerpunkte dienen oder man gräbt einen Tunnel zwischen bodennahen Endpunkten. Das sind aber Fragestellungen für einen anderen Artikel.

Wer jetzt trotzdem weiter rechnen will findet in dieser Arbeit von Uwe Starossek (Institut für Tragwerksentwurf- und Konstruktion der Universität Stuttgart, 1990) Berechnungsgrundlagen zur Seildynamik.

2 Gedanken zu „Dosentelefon – von hohen Türmen

  1. hi, guter vortrag, was mir allerdings fehlt ist der unterschied der höhenniveaus, also ob einer der beiden zB auf einem Berg steht…siehe Lift usw…

    • Das erschien mir für diesen Artikel zu aufwendig. Je nach Höhenunterschied müssen natürlich die Formeln angepasst werden. Wenn zum Beispiel ein Startpunkt so viel höher oder tiefer ist dass nicht mehr von einem Spiegelsymmetrischen System ausgegangen werden kann braucht es einen etwas anderen Ansatz. Das kann ich gerne in einem weiteren Artikel aufgreifen.

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